Кафедра алгебры и геометрии
Специальные курсы, читаемые сотрудниками кафедры Алгеброгеометрические коды Курс читает Азовская Т.В. В этом курсе изучаются методики построения корректирующих кодов, т.е. кодов, способных исправлять ошибки, вызванные помехами, при передаче информации по каналу связи. Большинство известных хороших кодов принадлежит к классу линейных, кодовые слова таких кодов образуют линейные подпространства. Такие коды легче строить, они соответствуют системам точек в проективном пространстве, можно предлагать конструкции таких кодов, заранее гарантируя некоторые параметры. Все, сказанное выше, представляет собой мотивировку изучения изящных алгебраических структур. Так, например, реализуя линейное пространство как факторкольцо кольца многочленов, мы приходим к полиномиальным кодам, циклическим кодам, кодам БЧХ. Линейный код может быть построен по пространству рациональных функций на алгебраической кривой, ассоциированному с дивизором. Оценивать свойства таких кодов позволяют результаты алгебраической геометрии. Специфические алгеброгеометрические конструкции предоставляют дополнительные инструменты для изучения корректирующих кодов. Курс читает Азовская Т.В. Само развитие арифметики определило необходимость расширения области целых чисел до области целых алгебраических чисел. Такой переход не только позволил решать классические задачи «в новых условиях», но и глубоко осмыслить многие результаты, полученные ранее. Группы и алгебры Ли Курс читает Панов А.Н. В курсе излагается общая теория групп и алгебр Ли и ее приложения в теории специальных функций, теории дифференциальных уравнений и геометрии. Интегрируемые системы Курс читает Панов А.Н. В курсе излагается теория пуассоновых многообразий, рассматриваются алгебраические методы нахождения решений гамильтоновых систем дифференциальных уравнений и приложения в теории цепочек Тоды. Математическая логика Курс читает Фролов И.С. Современная математическая логика, как учебная дисциплина включает в себя помимо традиционных тем: теория множеств, классическое исчисление высказываний, булевы функции, предикаты, модели, системы аксиом арифметики и теории множеств, теоремы Геделя о полноте исчисления предикатов, о неполноте арифметики и о неразрешимости исчисления предикатов, также ряд новых, тесно связанных с компьютерными вычислениями и искусственным интеллектом. Модальная логика — в естественном языке имеется большое число логических связок, которые не сводятся к стандартным "и", "или", "не", например: "возможно", "обязательно", "всегда", "здесь", "завтра". Связки такого рода называются модальностями. Модальная логика имеет важные приложения к исследованию аксиоматических теорий и автоматическому построению доказательств. Временная логика — изучение временных модальностей: "будет", "было", "сейчас" и т. п., также связана с информатикой; одним из ее приложений является верификация (проверка правильности) программ. Автоматическое доказательство теорем, в частности метод резолюций, используется, кроме поиска доказательств различных математических гипотез и проверки сложных доказательств, также для верификации сложных программных систем и интегральных схем, в частности, фирмами Микрософт, Интел и др., особенно после того, как в 1994 году была обнаружена ошибка деления в процессоре Pentium. Метод резолюций является также фундаментом логического программирования (язык Prolog), комбинаторная логика служит основой комбинаторного программирования (язык Haskell), квантовая логика — основой квантового программирования (язык Quipper). Модулярные формы Курс читает Воскресенская Г.В. Теория модулярныхформ имеет многочисленные связи с другими областями математики, с этой области многие математики начинают свое творчество и выступают на международных конференциях по теории чисел, эта теория имеет приложения в теории кодирования, криптографии и физике. Курс читается для бакалавриата, специалитета и магистратуры различных специальностей. Слушатели ознакомятся с действием модулярной группы и конгруэнц-подгрупп на верхней полуплоскости, модулярными формами относительно полной модулярной группы, рядами Эйзенштейна, структурными теоремами, модулярными формами относительно конгруэнц-подгрупп, свойствами эта-произведений, операторами Гекке, современной проблематикой теории. Прослушав курс, при желании студенты могут заняться самостоятельными исследованиями открытых проблем. Теория групп Курс читает Воскресенская Г.В. Теория групп является активно развивающейся областью математики, имеет приложения к механике, физике и химии. Группа Пуанкаре является группой симметрии законов электродинамики, группы преобразований лежат в основе кристаллографии и теории элементарных частиц. Поэтому с этим материалом будет интересно ознакомиться студентам разных специальностей, включая прикладные. В курс входит разбор классической основы, включая теоремы Силова, теоремы о гомоморфизмах, информацию о простых группах, комбинаторной теории групп, группы и графы. Планируется подробный разбор теоретической основы, разбор большого количества задач, исследование приложений, использование связей с компьютерными науками. Теория комбинаторных игр Курс читает Фролов И.С. Теория комбинаторных игр - активно развивающаяся в настоящее время область математики на стыке теории графов, математической логики и теории чисел, которая лежит в основе компьютерных алгоритмов соответствующих игр. Данная область математики ставит своей целью исследование математическими методами комбинаторных игр, в обыденной лексике называемых логическими играми; к их числу относятся как игры с высокой комбинаторной сложностью: шашки, шахматы, го; так и игры, значительно более простые: крестики-нолики и многие другие. Комбинаторные игры естественным образом подразделяются на две категории: беспристрастные, или симметричные игры (игры, правила которых не делают различия между игроками), и пристрастные, или несимметричные игры (в которых игроки различаются своими возможными действиями: например, в шахматах игрокам разрешается управлять фигурами только своего цвета). Кроме того, подклассом комбинаторных игр являются числа. Числа, как обычные, целые, вещественные, так и числа, выходящие за рамки обычных представлений о числах, и потому называемые сюрреальными, и которые включают в себя, в частности, ординальные числа, бесконечно малые числа, бесконечно большие числа. Целью курса является доступное для студентов введение в современное состояние теории комбинаторных игр. Теория представлений конечных групп Курс читает Воскресенская Г.В. Теория представлений является актуальной математической областью, имеющая много направлений исследований. Эта теория широко используется в физике, химии и компьютерных науках. Поэтому с этим материалом будет интересно ознакомиться студентам разных специальностей, включая прикладные. Будут разобраны основные свойства представлений, основные опрерации над представлениями, теория характеров, представления конкретных групп, построение таблиц характеров, представлений симметрических групп. Разбор теоретической основы сочетается с большим количеством задач и исследованием приложений. Теория сжатия информации Курс читает Фролов И.С. Сжатие информации в настоящее время выделилась в самостоятельную научную дисциплину. Ее основы заложил Клод Шеннон: теорема Шеннона об оптимальном кодировании показывает, к чему нужно стремиться при кодировании информации и насколько та или иная информация при этом сожмется. Количество нужной человеку информации неуклонно растет. Растут объемы устройств для хранения данных и пропускная способность линий связи. Однако количество информации растет быстрее. Сжатие информации позволяет в несколько раз сократить требования к объему устройств хранения данных. Еще одной целью сжатия информации является экономия пропускной способности каналов связи, поскольку это более дорогостоящий ресурс, чем дисковое пространство, и по этой причине сжатие данных до или во время их передачи очень актуально. В курсе изучается общая теория сжатия информации, различные классы алгоритмов, а также подробно рассматриваются наиболее эффективные из известных на сегодняшний день алгоритмов сжатия текстовой, графической информации, видео и звука. Эллиптические кривые Курс читает Воскресенская Г.В. Теория эллиптических кривых и эллиптических функция является очень красивой теорией, которая активно развивается и имеет приложения, прежде всего в криптографии. Этот курс читается по программе "Современные проблемы математики". В курс входят следующие темы: кубические кривые в форме Веерштрасса, закон сложения, j-инвариант, точки конечного порядка, теорема Лутц-Нагеля, эллиптические кривые над конечными полями, приложения к теории кодирования, ряды Дирихле, арифметические проблемы теории эллиптических кривых, связи с теорией модулярных форм. Разбор теоретической основы сочетается с большим количеством задач и исследованием приложений.
Следующие специальные курсы читает Кокарев В.Н. Риманова геометрия Комплексные многообразия Основания геометрии и геометрия Лобачевского Минимальные поверхности. Проблема Плато Выкуплая геометрия. Теория смешанных объемов и смешанных дискриминантов
Также сотрудники кафедры читают общие курсы
|
Рабочие программы курсов и дисциплин специализаций, которые читаются сотрудниками кафедры алгебры и геометрии на механико-математическом и физическом факультетах СамГУ. |
Алгебра